Critère de Kelly
Le critère de Kelly est sans doute la formule la plus citée et la plus mal utilisée en money management. Développée en 1956 par John L. Kelly, ingénieur chez Bell Labs, elle promet de maximiser la croissance du capital à long terme en déterminant la fraction optimale à risquer sur chaque trade. En théorie, c’est le Saint Graal. En pratique, appliquée telle quelle, c’est une route directe vers le burn-out.
Qu’est-ce que le critère de Kelly ?
Le critère de Kelly est une formule mathématique qui calcule la fraction optimale du capital à risquer sur chaque pari ou trade, dans le but de maximiser le taux de croissance composé du capital sur le long terme.
Contrairement à une idée reçue, l’objectif de Kelly n’est pas de maximiser le gain espéré de chaque trade individuel — c’est de maximiser la valeur attendue du logarithme du capital. Cette distinction est fondamentale : elle tient compte de l’effet cumulatif des pertes et des gains successifs, et protège contre la ruine par surestimation du risque.
L’idée centrale : placer trop peu de capital sur une opportunité réduit la croissance. Placer trop réduit encore davantage — et peut conduire à la ruine. Kelly détermine le point d’équilibre mathématique optimal entre ces deux extrêmes.
La formule de Kelly
Pour une stratégie à résultats binaires (gain ou perte), la formule de Kelly est :
f = (p × b − q) / b*
Où :
- f* = fraction optimale du capital à risquer par trade
- b = ratio de gain (gain moyen / perte moyenne)
- p = probabilité de gain (taux de réussite)
- q = 1 − p = probabilité de perte
Exemple concret :
Un système de trading génère 60 % de trades gagnants (p = 0,6), avec un gain moyen égal à la perte moyenne (b = 1, soit un RRR de 1:1).
f* = (0,6 × 1 − 0,4) / 1 = 0,20 soit 20 % du capital par trade
La formule recommande de risquer 20 % du capital sur chaque trade.
Exemple avancé : stratégie algorithmique
Prenons un cas plus réaliste issu d’un backtest sur 1 000 trades :
- Trades gagnants : 580 → p = 0,58
- Trades perdants : 420 → q = 0,42
- Gain moyen par trade gagnant : 150 €
- Perte moyenne par trade perdant : 100 €
- Ratio gain/perte : b = 150 / 100 = 1,5
Calcul de f :* f* = (0,58 × 1,5 − 0,42) / 1,5 = (0,87 − 0,42) / 1,5 = 0,45 / 1,5 = 0,30
Kelly recommande de risquer 30 % du capital par trade.
Sur un capital de 10 000 €, cela représente un risque de 3 000 € par position. Une série de 5 pertes consécutives statistiquement courante même avec 58 % de réussite entraînerait une perte de 15 000 €, soit bien au-delà du capital initial.
Ce niveau de risque est irréaliste en conditions réelles.
Le piège du Full Kelly : optimal mais invivable
C’est le point le plus important à comprendre sur le critère de Kelly, et le moins souvent expliqué.
Mathématiquement, le Full Kelly maximise la croissance géométrique du capital à l’infini. Mais le prix à payer est une volatilité du capital insupportable psychologiquement :
La certitude du drawdown majeur : une stratégie jouée en Full Kelly a statistiquement une chance sur trois de voir son capital divisé par deux avant de doubler. Ce n’est pas un risque marginal — c’est une quasi-certitude sur une longue série de trades.
La réalité humaine : sur le papier, un drawdown de 50 % n’est qu’un chiffre. En conditions réelles, voir 100 000 € fondre à 50 000 € provoque une rupture émotionnelle. Le trader panique, coupe la stratégie au pire moment, ou abandonne avant que les mathématiques ne « remboursent » les pertes.
L’incertitude des paramètres : la formule de Kelly suppose que vous connaissez exactement votre probabilité de gain. En bourse, ce chiffre est instable — il varie selon les conditions de marché. Si vous surestimez légèrement votre avantage, le Full Kelly vous fait miser trop gros et conduit à la ruine.
Conclusion : le Full Kelly est théoriquement optimal pour un algorithme immortel disposant d’un temps infini et de paramètres parfaitement connus. Pour un trader humain avec un capital réel et une stratégie imparfaite, c’est une formule de risque excessif.
La solution : le Half-Kelly (Kelly Fractionné)
Pour corriger ce défaut structurel, les professionnels utilisent le Half-Kelly ou plus généralement le Kelly Fractionné : calculez la fraction optimale f* avec la formule, puis divisez-la par un coefficient de prudence.
Les coefficients les plus utilisés :
- Half-Kelly (0,5) : vous risquez 50 % de la fraction Kelly calculée
- Quarter-Kelly (0,25) : vous risquez 25 % de la fraction calculée
Pourquoi c’est supérieur au Full Kelly :
La relation entre risque et rendement en Kelly est parabolique, pas linéaire. En misant Half-Kelly au lieu de Full Kelly, vous sacrifiez environ 25 % du rendement théorique — mais en échange, vous réduisez la volatilité du capital et le risque de drawdown majeur de 50 %. C’est le compromis optimal entre agressivité et sécurité.
Reprise de l’exemple précédent :
Kelly pur recommandait 30 % du capital par trade. En appliquant un Half-Kelly :
f réel = 0,30 × 0,5 = 15 % du capital par trade
Sur 10 000 € : risque de 1 500 € par position. Une série de 5 pertes consécutives représente 7 500 € de perte — encore significatif, ce qui illustre pourquoi même le Half-Kelly reste agressif pour la plupart des traders particuliers.
Kelly en pratique : ce que vous devez retenir
Le critère de Kelly n’est pas une règle opérationnelle — c’est une borne supérieure.
En pratique, il sert à trois choses :
1. Estimer la valeur théorique maximale de risque — Kelly vous dit jusqu’où vous pourriez théoriquement aller. Ne pas le dépasser est la règle absolue. Le dépasser signifie une croissance géométrique négative : vous perdez en espérance à long terme même avec une stratégie gagnante.
2. Comparer des stratégies entre elles — une stratégie dont le Kelly optimal est plus élevé est structurellement meilleure : elle offre plus de marge de manœuvre sur le position sizing.
3. Définir des limites dynamiques — en trading algorithmique, Kelly peut être recalculé périodiquement à partir des statistiques récentes pour ajuster le position sizing aux performances réelles de la stratégie.
Ce que Kelly ne peut pas faire : compenser une mauvaise stratégie, prédire les performances futures, ou remplacer un money management complet intégrant le risque de ruine et le drawdown maximum autorisé.
→ Lire l’article complet sur le position sizing et les 6 méthodes comparées
→ Lire l’article complet sur le risque de ruine
Ce que vous trouverez dans le livre
Le chapitre 16 de Maîtrisez votre Money Management en Bourse présente la formule de Kelly dans son contexte complet : propriétés mathématiques, limites pratiques, comparaison Full Kelly vs Half Kelly vs Quarter Kelly, et intégration dans un système de position sizing multi-stratégies. Il inclut également la comparaison avec les 5 autres méthodes de position sizing (Fixed Fractional, Fixed Ratio, Percent Volatility, Volatility Adjusted, et Percent Risk Volatility Adjusted) pour choisir la méthode adaptée à votre profil.
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